Question

设f(x)在0,1上有定义，...，证明f(x)在0,1上连续，题目在下图，麻烦有详细解答

具体题目如图

Answer 1

对任意k∈(0,1)，因为e^x*f(x)与e^[-f(x)]都是增函数，所以
（1）当0<=x<k时，e^x*f(x)<=e^k*f(k)，且e^[-f(x)]<=e^[-f(k)]
f(x)<=e^(k-x)*f(k)，且-f(x)<=-f(k)
即f(k)<=f(x)<=e^(k-x)*f(k)
因为lim(x->k-)f(k)=lim(x->k-)e^(k-x)*f(k)=f(k)
所以根据极限的夹逼性，lim(x->k-)f(x)=f(k)
即f(x)在x=k点处左连续
（2）当k<x<=1时，e^x*f(x)>=e^k*f(k)，且e^[-f(x)]>=e^[-f(k)]
同理可证，lim(x->k+)f(x)=f(k)
即f(x)在x=k点处右连续
综上所述，f(x)在x=k点处连续
因为k在(0,1)上是任意的，所以f(x)在(0,1)上连续
若k=0，则根据（2），可知f(x)在x=0点处右连续
若k=1，则根据（1），可知f(x)在x=1点处左连续
综上，可知f(x)在[0,1]上连续

Answer 2

简单说一下, 先要说明f(x)的极限存在, 因为e^(-f(x))单增, 所以f(x)单减, 既然f(x)单调, 他的不连续点一定是至多可数的, 并且只可能是第一类, 剩下的就是要证明, f(x)的左右极限都等于对应的函数值. 任意x0 in (0, 1), 和 x in (0, 1), 并且x > x0, e^xf(x) >= e^x0 f(x0) ==> e^(x-x0) f(x) > = f(x0), 当x(大于)趋于x0时, e^(x-x0)趋于1, 所以f(x)在x0的有极限>=f(x0), 又因为f(x)单减, 所以右极限又<=f(x0), 综合起来就得到f(x)在x0的右极限等于f(x0), 同理可得左极限也等于f(x0), 故f(x)在x0的极限就是f(x0), 从而证得f(x)在(0, 1)连续, 在区间端点单边极限自然也与函数值相等. 故f(x)在[0, 1]连续.

Answer 3

追问

为什么x<c时，e^-f(x)≤e^-f(c)