Question

设f（x）在[0，1]连续，且单调减少，f（x）＞0，证明：对于满足0＜α＜β＜1的任何α，β，有β∫α0f（x

设f（x）在[0，1]连续，且单调减少，f（x）＞0，证明：对于满足0＜α＜β＜1的任何α，β，有β∫α0f（x）dx＞α∫βαf（x）dx．

Answer 1

证明：
要证：

∫

α 0

f(x)dx＞

α

β

∫

β α

f(x)dx，0＜α＜β≤1，
只需证：

1

α

∫

α 0

f(x)dx＞

1

β

∫

β α

f(x)dx
由积分中值定理：

∫

α 0

f(x)dx＝αf(ξ1)，ξ₁∈[0，α]，

∫

β α

f(x)dx＝(β?α)f(ξ2)，ξ₂∈[α，β]，
而：f（x）是[0，1]上单调减少的函数，
∴f（ξ₁）＞f（ξ₂）
∴f(ξ1)＝

1

α

?αf(ξ1)＞

1

β

?βf(ξ2)＞

1

β

?(β?α)f(ξ2)（？）
即

1

α

∫

α 0

f(x)dx＞

1

β

∫

β α

f(x)dx
∴

∫

α 0

f(x)dx＞

α

β

∫

β α

f(x)dx
结论成立．