Question

二重积分的计算

D区域满足方程：（a²x²+b²y²）²=dxy， d为常数
求D的面积。
如果D区域满足的方程是：（a²x²+b²y²）=dxy， d为常数
D区域的面积又是什么？（即怎么设椭圆的一般方程 的参数方程）

Answer 1

二重积分的计算方法

Answer 2

令 x = (r/a)cost,   y = (r/b)sint

代入 (a^2x^2 + b^2y^2)^2 = dxy,   

得 r^2 = dsintcost/(ab) = d/(2ab)sin2t 为贝努力双纽线。

其所围面积  S = 4∫<0, π/4>(1/2)r^2dt = 2∫<0, π/4>d/(2ab)sin2tdt

= -d/(2ab)[cos2t]<0, π/4> = d/(2ab)

追问

为什么所围面积s的被积函数是1/2 r²

是由这个公式得到的吗？

追答

极坐标求面积公式
S = ∫ (1/2) [r(t)]^2 dt

Answer 3

解：分享一种“非积分”的解法。
设区域D是面积SD，∴SD=9πa²。而，区域Qx²+9y²≤9a²，即x²/(9a²)+y²/(a²)≤1，是长轴为3a、短轴为a的椭圆，其面积为SQ=9πa²。
按照均匀分布和古典概率的定义，P(x²+9y²≤9a²)=SD/SQ=1/3。故，选B。
供参考。

Answer 4

Answer 5

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