Question

PA垂直平面ABCD,四边形ABCD为矩形,MN分别为AB,PC的中点,∠PDA=45度

Answer 1

让我来。
证明：
因为PA⊥面ABCD，
所以PA⊥CD
又因为四边形ABCD为矩形，
所以，CD⊥AD
从而CD⊥面PAD。
所以，CD⊥PD。
取CD边的中点H，连接MH，NH
则易知NH‖PD
所以NH⊥CD
又因为CD⊥MH
所面CD⊥面MNH
所以CD⊥MN。
①
另由∠PAD=90°，∠PDA=45°
得∠DPA=45°
从而AP=AD=BC，
再注意到M是AB的中点
便有
PM²=AM²+AP²=BM²+BC²=MC²
即PM=MC
即△MPC是等腰三角形，
则由是MN是△MPC的中线，
那么它一定也是高线，即
MN⊥PC
②
综合①，②便有
MN⊥面PCD（CD与CP相交是明显的）。
证完。