Question

试证:对任意的正整数n,有1/1*2*3+1/2*3*4+L+1/n(n+1)(n+2)<1/4

Answer 1

1/[n(n+1)(n+2)]
=(1/n)*[1/(n+1)
-
1/(n+2)]
=
1/[n(n+1)]
-
1/[n(n+2)]
1/1*2*3+1/2*3*4+……+1/n(n+1)(n+2)
=
1/1*2
-
1/1*3
+
1/2*3
-
1/2*4
+
……
+
1/[n(n+1)]
-
1/[n(n+2)]
=
[1/1*2
+
1/2*3
+
……
1/n(n+1)
]
-
[1/1*3
+
1/2*4
+
……
+
1/[n(n+2)
]
因为
1/n(n+1)
=
1/n
-
1(n+1)
，
所以上式中
前一半为
1/1*2
+
1/2*3
+
……
1/n(n+1)
=1/1
-
1/2
+
1/2
-
1/3
+
……
+
1/n
-
1/(n+1)
=
1
-
1/(n+1)
因为
1/n(n+2)
=
[1/n
-
1/(n+2)]/2
所以
后一半为
1/1*3
+
1/2*4
+
……
+
1/[n(n+2)
=
[1/1
-
1/3
+
1/2
-
1/4
+
1/3
-
1/5
+
1/4
-
1/6
+
……
1/n
-
1/(n+2)
]/2
=
[1
+
1/2
-
1/(n+1)
-
1/(n+2)]/2
=
3/4
-
[1/(n+1)
+
1/(n+2)]/2
所以
原式
=
1
-
1/(n+1)
-
3/4
+
[1/(n+1)
+
1/(n+2)]/2
=
1/4
-
[1/(n+1)
-
1/(n+2)]/2
其中
1/(n+1)
-
1/(n+2)
恒大于0。所以
原式
<
1/4
命题得证