Question

已知∠MAN=30°，点B在射线AM上， 且 AB=6，点C在射线AN上？

（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；
（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件
的C点有（）个；
（3）设BC=x，当△ABC唯一确定时，
直接写出x的取值范围

Answer 1

解：（1）∵△ABC为直角三角形，且∠MAN=30°，
它这里没说哪个角是直角，所以要分类讨论
①当∠ABC=90°时，有AC=4√3；
②当∠ACB=90°时，有AC=3√3，
（2）当△ABC为等腰三角形时，也要分类讨论
①AB=BC时，有一个点C；
②AC=BC时，有第二个点C；
③AB=AC时，有第三个点C；
所以当△ABC为等腰三角形时，满足条件的C点有3个
（3）当△ABC唯一确定时，就是BC⊥AN的时候，或者BC>AB的时候，
①当BC⊥AN的时候，x=BC=½AB=½×6=3，
②当BC>AB的时候，x>AB，即x>6,
所以当x=3或者x>6时，△ABC唯一确定。

Answer 2

（1）△ABC是直角三角形，两种情况：一、∠B是直角 二、∠C是直角
所以，当∠C是直角时，AC=AB*cos30=3倍根号3
当∠B是直角时，AC=AB/cos30=4倍根号3
（2）2个。AB=AC或者AB=BC两种情况
(3)X取值范围：大于等于3小于等于6。

Answer 3

看图片

Answer 4

由题：
1）已知角MAN=30°，AB=6。
若角ABC=90°，
则AB：AC=cos30°=√3/2，
即6/AC=√3/2，AC=6×2/√3=4√3。
若角ACB=90°，
则AC：AB=cos30°=√3/2，
即AC/6=√3/2，AC=6×√3/2=3√3。
2）有2个，以AB为腰和以AB为底边。
3）可知|AB-BC|=|6-X|<AC<AB+BC=6+X，
而X^2=AB^2+AC^2-2AB.ACcos30°（余弦定理）。
即X^2=36+AC^2-6√3AC，
将AC表示代入不等式即可。

追问

那个，我还没有学过余弦定理，请问可以用别的方法吗？谢谢！

追答

抱歉，此题并不便于求解。以我所知，没有更好的方法。

追问

好吧，谢谢！