Question

一个线性无关向量组可由另一个向量组表示，如何证明后者向量个数不小于前者？

Answer 1

这事在原理上是这样的。

一个n维的向量只能张成一个秩1的n维空间。两个n维向量最多只能张成一个n维秩2的空间，以此类推，一个n维的n-1维个向量最多只能张成一个n维数n-1秩的空间。当然，任何n+1个n维向量，最多只能张长一个n维满(n)秩的空间。

一个满秩的空间一定包含(或覆盖)所有其它同维的各款秩的空间。但若是两个不满秩的空间，即便一个秩比另一个的大，秩大的那个也不一定能包含(覆盖)秩小的那个空间。

比如在三维空间里，一个扁平的空间是秩2的，一根直线所在的空间是秩1的，虽然秩1小于秩2，但这根直线不一定非得落在那个扁平空间里，它完全可以与之正交么。但反过来，一个秩1的空间绝对不可能包含一个秩2的空间，讲都不用讲，对吧。

好了，如果现在有两个向量组A,B，它们各自能张成的空间一定都是n维的，但秩不一定一样。如果A组的向量多，B组向量少，则A组里线性无关的向量多过B组里线性无关向量的可能性就大。只要A组里线性无关的向量比B组里的多，A组张成的空间的秩就比B组能张成的空间的秩大，B空间要包含或覆盖A空间就没机会了。

B可以线表A的另外一个说法就是B空间包含或覆盖A空间，既然B秩都小于A秩，B不可能覆盖A，B就不能线表A。所以，B里的线性无关的向量必须至少与A里的一样多才有机会线表A。

说到这，提问里埋的一个坑可以看出来了吧？B组的向量比A组的少就一定不能线表A了么？非也！如果B组的向量不如A组的多，但B组里线性无关的向量比A组的多，B秩就可能大过A秩，B就有机会覆盖A，也就是能线表A了。