Question

怎么理解“二元函数可微推不出偏导数连续”

Answer 1

因为偏导数使用一元函数导数定义的，也就是一重极限。而可微和连续都是二重极限定义的。所以这三个的关系挺乱的，并不像一元函数那么简单。最重要的是可微的数学意义并不是你所说的光滑。

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

偏导数注意：

偏导数是曲面上某点在x方向或y方向空间曲线的斜率。可以类比平面上一元函数的微分，偏微分是曲面上某点在x方向或y方向空间曲线的增量。全微分，则不再是沿曲线的增量，而是曲面上某点的增量。可以想象，曲面上过该点作一个切面，而切面的微小增量就是全微分。