Question

已知sinα+cosβ=1/2,求cosα *sinβ的范围

已知sinα+cosβ=1/2,求cosα *sinβ的范围
为什么可以设t=sinαcosβ，令sin(α+β)=1/2+t,sin(α-β)=1/2-t求得，请详细说明，有加分！

Answer 1

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1/2+cosα*sinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1/2-cosα*sinβ

因为｜sin(α+β)｜≤1，所以|1/2+cosα*sinβ|≤1
－1≤1/2+cosα*sinβ≤1，－1.5≤cosα*sinβ≤0.5
同理：由｜sin(α－β)｜≤1，所以|1/2－cosα*sinβ|≤1
－0.5≤cosα*sinβ≤1.5

所以：－0.5≤cosα*sinβ≤0.5

Answer 2

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1/2+cosα*sinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1/2-cosα*sinβ
｜sin(α+β)｜≤1，所以|1/2+cosα*sinβ|≤1
－1≤1/2+cosα*sinβ≤1，－1.5≤cosα*sinβ≤0.5
同理 ｜sin(α－β)｜≤1，所以|1/2－cosα*sinβ|≤1
－0.5≤cosα*sinβ≤1.5