Question

已知{bn}的首项为1.公差为4/3的等差数列。且bn=a1+2a2+...+nan/1+2+....+n.求证：{an}也是等差数列

Answer 1

Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
bn=(4n-1)/3=(a1+a2+a3+...+nan)/Sn
n=1时，a1=1
n>=2时，
a1+a2+a3+...+(n-1)a(n-1)+nan=(4n-1)Sn/3=n(n+1)(4n-1)/6 一式 a1+a2+a3+...+(n-1)a(n-1)=n(n-1)(4n-5)/6 二式
一式减二式，得
nan=n[(n+1)(4n-1)-(n-i)(4n-5)]/6=n(12n-7)/6
an=(12n-7)/6
当n=1,(12-7)/6=1=a1
所以，an=(12n-7)/6an-a(n-1)=2
所以{an}是等差数列

Answer 2

Bn=1+(n-1)×4/3=(4n-1)/3
A1+2A2+3A3+……+nAn=Bn×(1+2+3+……+n)=(4n-1)/3×n(n+1)/2
A1+2A2+3A3+……+(n-1)A(n-1)=B(n-1)×(1+2+3+……+(n-1))=(4n-5)/3×(n-1)n/2
两式相减
nAn=(4n-1)/3×n(n+1)/2-(4n-5)/3×(n-1)n/2
=n(2n-1)
An=2n-1
A1=B1×1=1，满足上式
{An}也是等差数列