Question

设a,b,c都是正数且a+b+c=1,求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c)

要详细过程啊

Answer 1

1/a-1 = (1-a)/a = (b+c)/a.
所以原式等于(b+c)/a*(c+a)/b*(a+b)/c
=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc).
分子展开，原式
=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc)/(abc).
=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)/(abc)+2
对a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2运用算术-几何平均值不等式，得
a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2>=6*(6次根号下(a2b*ab2*b2c*bc2*c2a*ca2))
=6abc.
即原式>=6+2=8.证毕。

（以上a2表示a的2此方)

Answer 2

昨天做了，今天家教又突然脑子短路，现在才想去来
先证a+b+c=1,且a,b,c均为正数时，有(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8，显然，自己证
(1+a)/(1-a)=2/(1-a)-1
(1+b)/(1-b)=2/(1-b)-1
(1+c)/(1-b)=2/(1-c)-1
而（1-a)/2+（1-b)/2+（1-c)/2=1
条件均满足，所以有[(1+a)/(1-a)]*[(1+b)/(1-b)]*[(1+a)/(1-b)]>=8
所以得证