Question

证明行列式公式 |AB|=|A|*|B|

请各位帮一下忙，谢谢！
这个证明第2个不能明白，还需要详细一下

Answer 1

1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩，显然AB也不满秩
（r(AB)<=min(r(A),r(B))
那么|AB|=|A| |B|=0.

2、A、B均满秩
A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1（A可以由E经过一系列的行列变换得到）
B=g1g2…gs*E*ht…h2h1
pi、qi、gi、hi均为初等矩阵，E为单位矩阵
|A||B|=|P1P2…Pn*E*qm…q2q1| |g1g2…gs*E*ht…h2h1|
=|P1P2…Pn| |E| |qm…q2q1| |g1g2…gs| |E| |ht…h2h1|
=|A| |E| |E| |B|（反复使用公式①）
=|A| |B|
其中只需证明|Ar|=|A| |r|①（或|rA|）其中r为初等矩阵
这是显然的，因为初等行列变换不改变矩阵行列式的值。