最近找到一个数列，递推式已知，谁能求出其通项？
记数列An的第n项为a（n）
a（1）至a（i）为已知项
a（n）=a（n-1）+a（n-j）-a（n-k）
求a（n）
顺便把s（n）也求了吧
其实最初的设定是
前10项都是1，第11项到第二十项符合a（n）=a（n-1）+a（n-10）-1，第21项以后符合a（n）=a（n-1）+a（n-10）-a（n-20）
物理模型是
任何雌性个体在十岁到二十岁的时候具有生育能力，期间每年能产下一个雌性个体
初始阶段存在一个雌性个体且年龄为十岁
a（n）为第n年新诞生的个体数目
s（n）为除了初始给定的那个雌性个体以外所有第n年的雌性个体总和
所以才有了上面那个递推式
后来把到十岁到二十岁的育龄改成j岁到k岁的育龄，就变成了开头所说的那个问题了
如果要计算具体数值的话，还是按照十岁到二十岁的设定吧- -b 展开
这种东西只能用特征方程来解了=_=不过说实话这条件实在是……
先声明一下，以下过程中使用的符号“^”表示乘方，例如：2^3表示2的3次方。
好吧，依题意知a（n）=a（n-1）+a（n-j）-a（n-k）
也就是a(n+k)=a(n+k-1)+a(n+k-j)-a(n) （这就是数列的递归方程）
根据递归方程与特征方程之间的关系可以将其转化为一个高次方程：
x^k=x^(k-1)+x^(k-j)-1
移项得:x^k-x^(k-1)-x^(k-j)+1=0
到这里先说一句，如果不给出j、k、i的准确值的话这个方程是解不出来的。
假设这个方程解出来有p个不同的根x1、x2、x3、x4……xp
那么这个数列的通项公式就是C1*x1^n+C2*x2^n+……+Cp*xp^n
其中C1、C2、C3……Cn为待定系数，需要根据题中给出的a(1)、a(2)、a(3)……a(p)联立方程组才能解出来，即
C1*x1+C2*x2+C3*x3+C4*x4+……+Cp*xp=a(1)
C1*x1^2+C2*x2^2+C3*x3^2+……+Cp*xn^2=a(2)
……
C1*x1^p+C2*c2^p+C3*x3^p+……+Cp*xp^p=a(p)
将以上待定系数解出来之后便可求出a(n)的通项公式
但是，若特征方程解出来有m个不同的根x1、x2、x3……xm，有q个相同的根λ，那么该数列的通项公式就为
a(n)=[C1+C2*n+C3*n^2+C4*n^3+……+Cq*n^(q-1)]*λ^q+D1*x1^n+D2*x2^n+D3*x3^n+……+Dm*xm^n
其中C1、C2、C3……Cq和D1、D2、D3……Dm均为待定系数，需要由题中给出的 a(1)、a(2)、a(3)……a(m+q)联立方程组才能解出。
这是这道题的解法，但是它需要配合给出的数据进行具体问题具体分析。你只给这几个抽象的符号的话是算不出它的通项的。
另外，关于特征方程，如果有不理解的地方可以参考以下网址
http://baike.baidu.com/view/857283.htm
http://hi.baidu.com/%D3%D0%CE%CA%CC%E2%D5%D2%C0%CF%CA%A6/blog/item/67fa6838d34428f5b211c7d2.html
关于这个问题的补充，实在是让人很头疼（果然这130分不好拿么=_=）
第11项到第20项符合a（n）=a（n-1）+a（n-10）-1
所以a(11)=a(10)+a(1)-1=1
a(12)=a(11)+a(2)-1=1
……
a(20)=a(19)+a(9)-1=1
实际上这个数列从第1项开始到第20项都是1（或者说是楼主抄递推公式了？）
第20项以后有递推公式：a（n）=a（n-1）+a（n-10）-a（n-20）
即a(n+20)=a(n+19)+a(n+10)-an 这是一个20阶的线性递归数列（太狠了，包括虚根的话这方程得有20个解……）
则其特征方程为x^20=x^19+x^10-x
设f(x)=x^20-x^19-x^10+x
将其余的次幂补齐，得：
f(x)=x^20-x^19+0x^18+0x^17+0x^16+0x^15+0x^14+……+0x^11-x^10+0x^9+0x^8+……+0x^2+x+0x^0
所以该函数中每一项的系数分别为1、-1、0、0、0、0、0、0、0、0、-1、0、0、0、0、0、0、0、0、1、0。
设其前n项和为Sn，则{Sn}一定是21阶的线性递归数列。且该数列的递归方程为
S(n+21)=(1+1)S(n+20)+[(-1)-1]S(n+19)+[0-(-1)]S(n+18)+(0-0)S(n+17)+……+[(-1)-0]S(n+11)+[0-(-1)]S(n+10)+(0-0)S(n+9)+……+(0-0)S(n+2)+(1-0)S(n+1)+(0-1)S(n)
在这里说明一下{Sn}的递推公式是如何确定的
定理：若{an}为k阶线性递归数列，则{Sn}为k+1阶线性递归数列。
所以可以确定{Sn}为21阶线性递归数列。
在{Sn}的递推公式中，S(n+20)的系数是an特征方程中x^20的系数加上1，也就是2。S(n+19)的系数是x^19的系数减去x^20的系数，也就是-2，S(n+18)的系数就是x^18的系数减去x^19的系数……以此类推，便可写出{Sn}的递推公式。
另外由定理可知：若f(x)=0为数列{an}的特征方程，那么数列前n项和{Sn}的特征方程为(x-1)f(x)=0
所以{Sn}的特征方程为(x-1)(x^20-x^19-x^10+x)=0
解出这个方程所有的根（包括实数根与虚数根），然后依据我之前给出的公式即可求出{Sn}的通项公式，也就是Sn的表达式。
先说一句，这个方程的次数太高了，就算你真的全部求出来的话还要联立21个方程组来求出C1、C2、C3……C21等待定系数的值。我在几何画板上画出该函数的图像，贴在这下面。
从图像中可以看出x=-1，x=0以及x=1三个解。
然后便可用竖式除法对(x-1)(x^20-x^19-x^10+x)=0进行因式分解得：
x(x-1)(x+1)(x^18-2x^17+2x^16-2x^15+2x^14-2x^13+2x^12-2x^11+2x^10-2x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0
这个方程我是没能力解出它的21个根了，估计楼主看到这种东西也不想解了吧。
老实说这道题目我只能做到这种地步了。
当然如果您有耐心去解这个方程的话还是可以求出Sn的通项的，只是花费的时间可能就比较长了。
消去x^(n-k)，得到x^k=x^(k-1)+x^(k-j)+1
如果能够根据已知的j,k解出这个方程，设根分别为x1,x2,...,xk
则有方程组：
a1=c1*x1+c2*x2+...+ck*xk
a2=c1*x1^2+c2*x2^2+...+ck*xk^2
...
ak=c1*x1^k+c2*x2^k+...+ck*xk^k
其中c1,c2,...,ck为未知数
解出这个方程组，则通项为
an=c1*x1^n+c2*x2^n+...+ck*xk^n(1<=n<=k或者n>=i)
注意在k<n<i时，an有可能不满足上述通项
