Question

如图，在RT△ABC中，角ACB=90°，CD是角平分线，DE‖BC交AC与E，DF‖AC交BC于点F。

求证【1】四边行CEDF是正方形；
【2】CD²=2AE×BF

Answer 1

(1)证明：
∵∠ACB=90°，CD是角平分线
∴∠ACD=∠BCD=45°
∵DE‖BC交AC与E，DF‖AC交BC于点F
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴四边形CEDF是矩形
∵∠CDE=45°
∴CE=ED
∴四边形CEDF是正方形

（2）∵DE‖BC
∴∠ADE=∠B
∵∠AED=∠DFB=90°
∴△AED∽△DFB
∴DE*DF=AE*BF
∴DE^2=AE*BF
∵CD^2=2DE^2
∴CD^2=AE*BF

Answer 2

1 ∵DE‖BC，DF‖AC， 则四边形DFCE是平行四边形，又∠ACB=90°
∴平行四边形DFCE矩形
∵CD是角平分线
∴DE=DF（对角线上的点到两边的距离相等）
∴矩形DFCE是正方形

2 很明显△AED∽△DEB，则AE:DF=DE:BF,又DF=DE,∴AE×BF =DE²,又CD=根号2DE,∴2AE×BF=DE²

Answer 3

1.根据平行 角c是直角得到是长方形
cd是角c的平分线，所以角dcf=dce=cdf
所以cf=df
所以正方形
2设正方形边长是a
cd=根号2 a
ae=a*ctgA
bf=a*ctgB
2ae*bf=2*a*ctgA*a*ctgB
因为A=B是90度
所以ctgA*ctgB=1
所以得证

Answer 4

1.这也用证？
2.E、F都是中点∴AE=CE,BF=CF,CD=根号2CE
得证