Question

线性代数中为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0？

Answer 1

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量
X=(x_1,...x_n) 都有 XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.

正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有

∴λ＞0

反之，必存在U使
即 ： A正定

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。

Answer 2

看图片

Answer 3

正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有

∴λ＞0

反之，必存在U使
即 ： A正定

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。