Question

一道高二数学题,帮帮忙~!

a+b+c=1,a^2+b^2+c^2的最小值是？
请附上解题过程,谢谢

Answer 1

2(a+b+c)^2-6(ab+bc+ca)
=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca
=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0
又因为a+b+c=1，代入有2≥6(ab+bc+ca)
[ab+bc+ca]<=1/3

(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)<=2/3
即1-(a^2+b^2+c^2)<=2/3
a^2+b^2+c^2>=1/3,
即最小值是1/3

方法2：
由柯西不等式：
对任何实数m,n,k,x,y,z
有(m^2+n^2+k^2)(x^2+y^2+z^2))≥(mx+ny+kz)^2
所以(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2))≥(a+b+c)^2=1
即3(a^2+b^2+c^2)≥1