Question

用待定系数法分解因式!!!!!!!!

怎么样用待定系数法分解因式:
X的4次方-X3次方+6X2次方-X+15

Answer 1

题目：x^4-x^3+6X^2-x+15
首先看：x^4-x^3+6X^2
＝（x^2-3x）（x^2+2X）－－－－－对吧
其次：说明原来的多项式一定可以分解为（x^2-3x＋A）（x^2+2X＋B）－－－－－－要不然不可能四次项和三次项系数是1&-1
接着把（x^2-3x＋A）（x^2+2X＋B）完全打开－－－－－－待定开始
化简整理得：x^4-X^3＋（A+B-6)x^2+(2A-3B)x+AB
根据恒等式性质得到两个方程：
A+B－6=6;2A－3B=-1
得到B=5，A=7
因为A*B=35不等于15，所以原式不能分解。
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假如原式是X的4次方-X3次方+6X2次方-X+35
可以分解为（x^2-3X+7)(X^2+2X+5)

Answer 2

（以下过程均是在实数范围内分解因式）
解(1)x^5+x+1
因为原式是5次式
所以若原式可以因式分解，则一定可以分解为
一个2次式因式和一个3次因式，或者一个1次因式和一个4因式
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
由于原式最高次项是x^5，最低次项(常数项)是1，
所以可设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
（因为原式的最高次项一定等于两个因式的最高次项乘积，且原式最低次项也一定等于两个因式的最低次项乘积）
展开得：原式=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
由于原式的2、3、4次项的系数都是0，1次项系数是1
所以a,b,c必须同时满足以下四个方程：
a+c=0
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=1
如果此方程组无解，则说明原式不可因式分解。（从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，若等号恰好成立，则说明此该a,b,c的值是原方程组的解；若等号不成立，则说明该方程组无解）
但此题恰好有解，解得a=-1，b=0，c=1
所以原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
检验：分解是否彻底
因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解
对于因式x^3-x^2+1，也可以用待定系数法
设x^3-x^2+1=(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=-1
m+1=0
显然无解。所以x^3-x^2+1不能继续分解。
所以分解已经彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
所以：
a+1=0
a+b=0
b+c=0
c+1=1
次方程组无解
所以原式不能分解成一个1次因式和1个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
(2)x^5+x^4+1
同上题理
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
方程组：
a+c=1
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=0
解该方程组的方法同上，即从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，恰好能使等号成立。所以最后解得a=0，b=-1，c=1
所以原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)
检验分解是否彻底”
因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解
对于因式x^3-x+1，
设其(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=0
m+1=-1
显然无解。所以x^3-x+1不能因式分解
所以分解已彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
方程组为：
a+1=1
a+b=0
b+c=0
c+1=0
该方程组无解，说明原式不可以分解为一个1次式因式和一个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)

Answer 3

（1）分解因式：x^2+2xy-8y^2+2x+14y-3
分析：可以先用十字相乘法分解关于x的二次项x^2+2xy-8y^2=(x-2y)(x+4y)，因为y^2的系数在分解x的二次项时已分解，故这次只分解常数项，拼凑y的系数，最后检验关于x的二次三项式。
解：
原式=（x-2y+3）（x+4y-1）
注：双十字相乘法要决是：先用十字相乘法分解关于x的二次项，然后再用十字相乘法分解关于y的二次项（如果y的系数为完全平方数，则分解关于x的二次三项式），最后检验关于x的二次三项式（如果第二次分解关于x的二次三项式，则最后检验关于y的二次三项式）
因式分解x^2+2xy-8y^2+2x+14y-3
因为x^2+2xy-8y^2=(x+4y)(x-2y)
(x+4y)
-1
(x-2y)
3
3(x+4y)-1(x-2y)=2x+14y
所以x^2+2xy-8y^2+2x+14y-3=(x+4y-1)(x-2y+3)
（2）x^-8xy+15y^+2x-4y-3
＝x^-8xy+16y^-
y^+2x-4y-3
＝(x-4y)^-
y^+2y-1-(2y-1)+2x-4y-3
＝(x-4y)^-(y-1)^+2x-6y-2
＝(x-4y-(y-1))
(x-4y+(y-1))+2(x-3y-1)
＝(x-5y+1)
(x-3y-1)+2(x-3y-1)
＝(x-5y+1+2)
(x-3y-1)
＝(x-5y+3)
(x-3y-1)（3）不会。

Answer 4

y=x^4-x^3+6x^2-x+15

Let y=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

Then y=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(bc+ad)x+bd

So a+c=-1,a=-1-c .

=> y=x^4-x^3+(b+d-c-c^2)x^2+(bc-cd-c)x+bd

Also b+d-c-c^2=6,b=c^2+c+6-d

=> y=x^4-x^3+6x^2+(c^3+c^2+5c-2cd)x+(c^2d+cd+6d-d^2)

Also c^3+c^2+5c-2cd=-1 and c^2d+cd+6d-d^2=15
=> ??

Answer 5

1）x的二次方-10x+25
（2）x的三次方y的三次方-9xy
（3）x的三次方+2x的二次方-3x
（4）2x的二次方-4xy+2y的二次方
（5）（2a-b)的二次方-（b-2a)的二次方
（6）2a的二次方-8
（7）a的四次方-3a的二次方-4
（8）x的二次方-4y的二次方+x+2y