Question

数学问题:已知点P(x0,y0)是椭圆x^2/3+y^2/2=1上的动点

1,已知点P(x0,y0)是椭圆x^2/3+y^2/2=1上的动点，试分别求P满足以下各条件的对称

点Q的坐标，及Q的轨迹方程

(1)对称点A(1,2)

(2)对称轴x=3

(2)对称轴y=3-x

2,已知△ABC的两个顶点A,B是双曲线(x^2/4)-y^2=1的两个焦点,C在抛物线y=x^2上移动，

求△ABC的重心轨迹方程

3,已知Rt△OAB的直角顶点O是坐标原点,A在y轴上,B在x轴上,斜边AB长为常数a(a>0),

求△ABC外心轨迹方程

4,已知点P(0,-4),Q是椭圆x^2+2y^2=2上的动点,M是线段PQ上的点，

且满足PM=2MQ/3，求动点M的轨迹方程

最好解析一下

Answer 1

1、（1）、Q点坐标（x,y）,1=(x0+x)/2,x=2-x0,2=(y0+y)/2,y=4-y0,Q(2-x0,4-y0); 椭圆x^2/3+y^2/2=1,长半轴√3，短半轴√2， c=1,焦点坐标F1（-1，0）,F2(1,0),先找出原点关于A点的对称点O’:(0+x)/2=1,x=2,(0+y)/2=2,y=4,O’(2,4),F1对称点F1’,[x+(-1)]/2=1,x=3,(y+0]/2=2,y=4,F1’(3,4),F2对称点,F2’(3,4),O点关于A点对称的轨迹方程为:(x-3)^2/3+(y-4)^2/2=1, 椭圆中心为(3,4),大小与原来相同,左右翻转180度.
(2).对称轴x=3,Q坐标,(x0+x)/2=3,x=6-x0,(y0+y)/2=y0,y=y0, 关于对称轴x=3的P的对称坐标点为Q((6-x0),y0),先找出原点的对称点O’,O’(6,0),焦点对称点坐标F1’(7,0),F2’(5,0),轨迹方程(x-6)^2/3+y^2/2=1. 椭圆中心为(6,0),大小与原来相同,左右翻转180度.
(3) 对称轴y=3-x,过P点且与y=3-x垂直的直线为:y=x+y0-x0,与y=-x+3相交于((3+y0-x0)/2,(3+x0-y0)/2),对称点坐标为:x=3-y0,y=3-x0,Q(3-y0,3-x0);原点的对称点O’(3,3),焦点对称点F1’(3,4),F2’(3,2), 轨迹方程(x-3)^2/2+(y-3)^2/3=1 , 椭圆中心为(3,3),大小与原来相同,翻转90度.
2、双曲线(x^2/4)-y^2=1关于原点对称，焦点A（-√5，0），B（√5，0），AB的中点即原点，设重心坐标为G（x,y）,则C点坐标（3x,3y）,它在抛物线y=x^2上，代入方程，y=3x^2（x≠0，y≠0）,即为重心G的轨迹方程。
3、设A点坐标为（0,m）,B点坐标（n,0）,直角三角形外心O在斜边的中点，其坐标（n/2,m/2）,
x=n/2,y=m/2,两边平方相加，x^2+y^2=n^2/4+m^2/4=(m^2+n^2)/4=a^2/4, △ABC外心轨迹方程为x^2+y^2=a^2/4.
4、设Q坐标为（x0,y0）,M坐标（x,y）,根据定比分点x=(x1+λx2)/(1+λ), λ=PM/MQ=2/3，得x=2x0/5,y=(y1+λy2)/(1+λ),y=(-12+2y0)/5,xo=5x/2,x0^2/2=25x^2/8,y0=(5y+12)/2,y0^2=(5y+12)^2/4,两式相加，25x^2/8+(5y+12)^2/4=1,即是 动点M的轨迹方程。