Question

椭圆x²/4+y²/2=1上一点M(1，√6/2)，P、Q是椭圆上异于M的两个动点。

（1）若P、M、Q到椭圆左焦点的F1距离成等差数列，求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A。（2）若PQ为过左焦点F1且与两轴都不垂直的弦，在X轴上求一点N，使NF1为角∠PNQ的平分线

Answer 1

解:(1)设P(x 1 ,y 1 ),O(x 2 ,y 2 ),椭圆中a=2,b= ,c= ,e= .∵|PF 1 |=2+ x 1 ,|MF 1 |=2+ ,|QF 1 |=2+ x 2 ,依题意,2|MF 1 |=|PF 1 |+|QF 1 |,∴x 1 +x 2 =2,设PQ中点为C(x 0 ,y 0 ),线段PQ的垂直平分线为l,则x 0 =,∵+y 0 (y 1 -y 2 )=0∵y 0 ≠0,∴k PQ = ,∵PQ⊥l,∴k l =2y 0 ,L的解为Y-Y0=2y0(x-1)