Question

数学题 如图，线段AB的长为1

A____E__D_________C_______________B

（1）线段AB上的点C满足关系式AC的平方=BC乘AB，求线段AD的长

（2）线段 AC上的点D满足关系式AD的平方=CD乘AC，求线段AD的长

（3）线段AD上的点 E满足关系式AE的平方=DE乘AD，求线段AE的长

Answer 1

应该是（1）线段AB上的点C满足关系式AC的平方=BC乘AB，求线段AC的长
ac=x
x^2=1-x
其实就是黄金分割的问题
x=（根号5-1）/2
ad=y
y^2=x(x-y)
(y/x)^2=(1-y/x)
y/x=（根号5-1）/2
y=(3-根号5)/2
同理
ae=z
z/y=（根号5-1）/2
z=根号5-2

Answer 2

第(1)小题：
设AC=x,根据ACxAC=BCxAB,且BC=AB-AC,AB=1
x^2=(1-x)
x^2+x-1=0
因为x>0
x=(-1+√5)/2
即 AC=(-1+√5)/2

第(2)小题:
设AD=y,根据ADxAD=CDxAC,且CD=AC-AD,已求得AC=x=(-1+√5)/2
y^2=(x-y)x
y^2+xy-x^2=0
因为y>0
y=[-x+(x√5)]/2=(3-√5)/2
即AD=(3-√5)/2

第(3)小题:
设AE=z,根据AExAE=DExAD,且DE=AD-AE,已求得AD=y=(3-√5)/2
z^2=(y-z)y
z^2+yz-y^2=0
因为z>0
z=[-y+(y√5)]/2=√5-2
即AE=√5-2

每题所求长度都是上一题所求线段的黄金分割，即
AD=[(√5-1)/2]AC
AE=[(√5-1)/2]AD