Question

若a、b、c、d都是实数,且ab=2(c+d)

求证:关于x的方程x²+ax+c=0,x²+bx+d=0中至少有一个方程有实数根快啊，帮帮忙
就有点不清楚
是不是求出X就行呀？？

Answer 1

设第一个方程根的判别式为△1，第二个方程根的判别式为△2，于是有：
△1＋△2
＝a^2－4c＋b^2－4d
＝a^2＋b^2－4(c＋d)
＝a^2＋b^2－2ab
＝(a－b)^2
≥0
∴△1与△2中至少有一个方程的根的判别式不小于0，从而证明两个方程中至少有一个方程有实数根

一楼相减的做法是错误的：
如方程：x^2－x＋2＝0，x^2＋x＋4＝0都没有实数根，但两个方程相减得：x＝－1

Answer 2

证明：假设方程x2＋ax＋c＝0和x2＋bx＋d＝0都没有实根．

则△1=a^2-4c<0, △1=b^2-4d<0,

即c>a^2/4, d>b^2/4代入已知条件ab=2(c+d)中，

ab=2c+2d>a^2/2+b^2/2

从而有a^2＋b^2＜2ab，

即(a－b)2＜0，与(a－b)2≥0矛盾，

因此假设不成立，

所以关于x的方程x²+ax+c=0,x²+bx+d=0中至少有一个方程有实数根

原题得证．