已知函数f(x)=X² ＋|x-a|+1,a属于全体实数 问：试判断f(x)的奇偶性 若-1/2<=a<=1/2,求f(x)的最小
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分情况讨论:
当a=0时,f(x)=x^2+|x|+1
根据定义,f(x)=f(-x),所以是偶函数
当a≠0时,f(x)≠f(-x)≠-f(-x)
所以既不是奇函数也不是偶函数
若-1/2<=a<=1/2,求f(x)的最小值
1.当x≥a,f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
因为-1/2<=a<=1/2,x≥a
所以x>1/2
所以f(x)min=f(a)=a^2+1
2.当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
因为-1/2<=a<=1/2,x<a
所以x<1/2
所以f(x)min=f(a)=a^2+1
综上,f(x)min=a^2+1
当a=0时,f(x)=x^2+|x|+1
根据定义,f(x)=f(-x),所以是偶函数
当a≠0时,f(x)≠f(-x)≠-f(-x)
所以既不是奇函数也不是偶函数
若-1/2<=a<=1/2,求f(x)的最小值
1.当x≥a,f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
因为-1/2<=a<=1/2,x≥a
所以x>1/2
所以f(x)min=f(a)=a^2+1
2.当x<a时,f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
因为-1/2<=a<=1/2,x<a
所以x<1/2
所以f(x)min=f(a)=a^2+1
综上,f(x)min=a^2+1
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