Question

如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M,N分别从点A,B出发,沿三角形的两边运动.已知点M的速度为1cm/s,

如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

Answer 1

解：

(1)设t秒后重合。
由题意，可得需使M运动路程+AB=N运动路程。
∴2t＝t+12
解得t＝12。
∴点M、N运动12秒后，M、N两点重合（于C）。

（2）成等边三角形时AM=AN=MN，即△AMN与△ABC相似。
设t秒后成等边三角形。
N经过A之前：
当△AMN∽△ACB时：
由AM/AC=AN/AB
得t/12=(12-2t)/12
解得t=4。
N经过A之后：
M、N在AC上时，∠MAN=0°，不满足△AMN与△ABC相似的条件。
M、N两点重合于C后，再运动直至停止，由于M、N距离总小于CB长，∠MAN总小于60°，不满足△AMN与△ABC相似的条件。
综上，点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN。
.
（3）存在。
设t秒后成等腰三角形。
由点M、N在BC边上运动，
则以MN为底边的等腰三角形只能为△AMN，不存在△BMN、△CMN。
∵以MN为底边
∴AM=AN。
由M比N运动的慢，可得存在时：
∵∠B=∠C，AB=AC，AM=AN
∴△ACM≌△ABN
∴CM=BN
由12s后M、N重合于C可得：
1*（t-12)=12-2*(t-12)
解得t=16。
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形。此时M、N运动的时间为16秒。