Question

设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩.

Answer 1

提示下：可以从Bx=0和ABx=0同解入手求证

追问

能说明一下如何证两线性齐次方程组同解么？

追答

首先，Bx=0的解都是ABx=0的解。
再者，因为A列向量线性无关，所以只有0向量可以是Ab=0的解，,即b为0向量是唯一一个解。
现在，我们可以看看Bx乘出来的结果是什么，嗯嗯，一个矩阵乘以一个列向量结果当然是一个列向量（请注意这是在他们可以相乘的情况下）
结果就是Ab=ABx=0，b和Bx是相同的东西，一个列向量，即b=Bx=0了。
所以知道ABx=0的解也是Bx=0的解
如果感觉解释的不清楚可以再询问。