过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与抛物线相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程

珈蓝长菁0FL
2013-12-17 · 超过67用户采纳过TA的回答
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设AB的中点为O(x,y);A(x1,y1),B(x2,y2); ∵直线过抛物线y^2=4x得焦点,而焦点F(1,0) ∴设直线的方程为:y=k(x-1) .........................(1) 将(1)^2代入抛物线方程中可得: k^2(x-1)^2=4x =>k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0 ∴x1+x2=(2k^2+4)/k^2 ∵y1+y2=k(x1+x2-2)=4/k ..............................(2)又∵x=(x1+x2)/2=(k^2+2)/k^2=(2+(2/k^2)).................(3) y=(y1+y2)/2=2/k =>2/k^2=y^2/2.........................(4) ∴将(4)代入(3)可得: 所以AB的中心轨迹方程为:y^2=2x-4
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