Question

过抛物线y^2=8x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过原点O作OM⊥AB,垂足为M,则点M的轨迹方程是

Answer 1

解：抛物线y^2=8x的焦点F为(2,0)。
由题意可知：直线AB不会与x轴重合，即直线OM恒存在斜率。
①当直线AB不垂直于x轴时，直线AB存在斜率。
设点为M(x,y)，则直线OM斜率k1=y/x
直线AB过点F，且点M在直线上，则直线AB斜率k2=(y－0)/(x－2)
直线AB与直线OM相垂直，则
k1×k2=-1
整理得：y^2 x^2-2x=0
即此时M点方程为：
y^2 x^2-2x=0
②当直线AB垂直于x轴时，直线AB不存在斜率。
此时M点为(2,0)，符合①情况的方程y^2 x^2-2x=0
综合得，M点方程为：
y^2 x^2-2x=0

Answer 2

如果有图的话就很好解释了，建议你边画一个图边看解题

设M的坐标为(X,Y)

那么OM⊥AB，OM的斜率为Y/X

设OM 的方程为Y1=Y*X1/X ,过O点，斜率为Y/X的方程

OM⊥AB

AB 的斜率为-X/Y AB 过F(1/4,0)点

那么AB的方程的斜率为Y-0/(X-1/4)=-X/Y

解得X^2-Y^2-X/4=0

这就是M点的轨迹方程。

Answer 3

抛物线焦点为〔2，0〕
则
过焦点的直线L1设斜率为k，则为
①直线不于y轴平行：y=k(x-2)〔k∈ R〕
②直线于y轴平行：x=2
①直线不于y轴平行时，则垂直于L1且过圆点方程为
y=-(1/k)x〔k≠0〕
x=0〔k=0〕
当k≠0时，上式交点方程可化为：
y^2+x^2-2x=0
即：y^2+(x-1)^2=1
当k=0时，交点〔0，0〕在圆y^2+(x-1)^2=1上

②直线于y轴平行时
交点为〔2，0〕在圆y^2+(x-1)^2=1上
所以轨迹方程为圆：
y^2+(x-1)^2=1

Answer 4

解：抛物线y^2=8x的焦点F为(2,0)。
由题意可知：直线AB不会与x轴重合，即直线OM恒存在斜率。
①当直线AB不垂直于x轴时，直线AB存在斜率。
设点为M(x,y)，则直线OM斜率
　k1=y/x
直线AB过点F，且点M在直线上，则直线AB斜率
　k2=(y－0)/(x－2)
直线AB与直线OM相垂直，则
　k1×k2=-1
整理得：y^2+(x-1)^2=1
即此时M点方程为：
y^2+(x-1)^2=1
②当直线AB垂直于x轴时，直线AB不存在斜率。
此时M点为(2,0)，符合①情况的方程y^2+(x-1)^2=1
综合得，M点方程为：y^2+(x-1)^2=1