Question

当0<x<π/2时，证明sinx/x>2/π

如题，利用单调性、极值（最值）来证明。

Answer 1

设f(x)＝sinx/x，0＜x≤π/20＜x＜π/2时，f'(x)＝(xcosx-sinx)/x^2＝cosx(x-tanx)/x^2令g(x)＝x-tanx，则g'(x)＝1-(secx)^2＜0当0＜x＜π/2时恒成立，所以g(x)单调减少，所以0＜x＜π/2时，g(x)＜g(0)＝0所以，0＜x＜π/2时，f'(x)＜0所以，0＜x≤π/2时，f(x)单调减少，所以f(x)＞f(π/2)＝2/π，此即sinx/x＞2/π

Answer 2

f(x)=sinx-2x/π,f'(x)=cosx-2/π，当x从0变化到π/2的过程中cosx从1变化到0，即f'(x)从正变到负，即先增后减。所以最小值在两端即x趋向于0或π/2。x趋向于0的时候，根据sinx在0点的导数定义正是sinx/x，所以为sinx的导数cosx，x取0，即为1，所以：sinx/x>1π/2时即为sinx/x>2/π。两者综合为sinx/x>2/π。

Answer 3

对sinx/x求导，得(cosx*x-sinx)/x^2 看分子部分，因为x-tanx定义域内是减函数，（也可以继续求导，从而确定在定义域内为减函数）所以x<tanx 变化为 cosx*x<sinx继而判断 原函数sinx/x定义域内为减函数，又x<π/2 所以 原函数大于当x=π/2 的值 即结论