Question

（2014?武侯区一模）已知双曲线y=4x与直线y=14x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内

（2014?武侯区一模）已知双曲线y=4x与直线y=14x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则AE2+BF2EF2的值是______．

Answer 1

解答：解1：过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，如图，

联立

y＝ 4 x y＝ 1 4 x

，
解得：

x1＝?4 y1＝?1

，

x2＝4 y2＝1

．
∵点A在点B的左侧，
∴A（-4，-1），B（4，1）．
∴AG=4，OG=1，OH=4，BH=1．
设FH=a，则有OF=OH+FH=4+a，BF²=FH²+BH²=a²+1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK=90°-∠CKF=∠OEK．
∵AG⊥y轴，BH⊥x轴，
∴∠AGE=∠BHF=90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴

AE

BF

=

EG

FH

=

AG

BH

=4．
∴AE²=16BF²=16（a²+1），EG=4FH=4a．
∴OE=

.

EG?OG

.

=|4a-1|．
∴EF²=（4a-1）²+（4+a）²=17（a²+1）．
∴

AE2+BF2

EF2

=

16(a2+1)+(a2+1)

17(a2+1)

=1．
故答案为：1．
解2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图．

则有∠GAC=∠FCA=90°，∠AGO=∠BFO．
∵双曲线y=

4

x

与直线y=

1

4

x都关于点O成中心对称，
∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA=OB．
在△AOG和△BOF中，

∠AGO＝∠BFO ∠AOG＝∠BOF OA＝OB

，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG=BF，OG=OF．
∵OE⊥GF，
∴EG=EF．
∵∠GAC=90°，
∴AG²+AE²=GE²，
∴BF²+AE²=EF²，
∴

AE2+BF2

EF2

=1．
故答案为：1．