Question

已知a=（sinθ，-2）与b=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，π2）．（1）求sinθ 和cosθ的值；（2）求

已知a=（sinθ，-2）与b=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，π2）．（1）求sinθ 和cosθ的值；（2）求函数f（x）=cos2x+2sinx的值域．

Answer 1

（1）∵

a

=（sinθ，-2）与

b

=（1，cosθ）互相垂直，所以

a

?

b

=0，即sinθ=2cosθ，
代入sin²θ+cos²θ=1 得sinθ=±

2 5

5

，cosθ=±

5

5

，
又θ∈（0，

π

2

）．
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ

5

5

．
（2）f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

，
x∈R，∴sinx∈[-1，1]，当sinx=

1

2

，f（x） 有最大值

3

2

；当sinx=-1，f（x） 有最小值-3．所以，值域为[-3，

3

2

]．