Question

已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=______；若∠COF

已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=______；若∠COF=n°，则∠BOE=______；∠BOE与∠COF的数量关系为______．（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？如成立请写出关系式；如不成立请说明理由．（3）在图3中，若∠COF=65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°， ∴∠EOF=90°-34°=56°， 由∵OF平分∠AOE． ∴∠AOE=2∠EOF=112°， ∴∠BOE=180°-112°=68°； 当∠COF=n°， ∴∠EOF=90°-n°， ∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°， ∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°， 所以有∠BOE=2∠COF． 故答案为：68°，2n°，∠BOE=2∠COF； （2）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下： 设∠COF=n°，如图2， ∵∠COE是直角， ∴∠EOF=90°-n°， 又∵OF平分∠AOE． ∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°， ∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°， 即∠BOE=2∠COF； （3）存在．理由如下： 如图3，∵∠COF=65°， ∴∠BOE=2×65°=130°， ∠EOF=∠AOF=90°-65°=25°， 而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半， ∴2∠BOD+25°= 1 2 （130°-∠BOD）， ∴∠BOD=16°．