Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2 3 的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为A

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2 3 的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B-CMN的体积．

Answer 1

（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB． 因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD， 因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB． 又SB?平面SDB，所以AC⊥SB； （2）因为AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC． 过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC， 因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC． 又因为NE⊥平面ABC，所以NE ∥ SD． 由于SN=NB，所以NE= 1 2 SD= 1 2 所以S △CMB = 1 2 CM?BM= 3 3 2 所以V B-CMN =V N-CMB = 1 3 S △CMB ?NE= 1 3 × 3 3 2 × 1 2 = 3 4