如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M为AB的中点．（1）证
如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M为AB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角S-CM-A的余...
如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M为AB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角S-CM-A的余弦值；（3）求点B到平面SCM的距离．
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解答：
解：（1）证明：取线段AC的中点O，连接OS，OB．
因为SA=SC，BA=BC，所以AC⊥SO且AC⊥BO．
因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，所以SO⊥平面ABC，
所以SO⊥BO．…（1分）
建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），B（0，2
，0），
=（-4，0，0），
=（0，-2
，2），
因为
?
═（-4，0，0）?（0，-2
，2）=0，
所以
⊥
，
即AC⊥SB…（3分）
（2）
=（0，0，2），为平面ABC的一个法向量．…（4分）
由（1）得：M（1，
，0），
=（3，
，0），
=（2，0，2），．
设
=（x，y，z），为平面SCM的一个法向量，则
即
解：（1）证明：取线段AC的中点O，连接OS，OB．因为SA=SC，BA=BC，所以AC⊥SO且AC⊥BO．
因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，所以SO⊥平面ABC，
所以SO⊥BO．…（1分）
建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），B（0，2
| 3 |
| AC |
| BS |
| 3 |
因为
| AC |
| BS |
| 3 |
所以
| AC |
| BS |
即AC⊥SB…（3分）
（2）
| OS |
由（1）得：M（1，
| 3 |
| CM |
| 3 |
| CS |
设
| n |
|
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