Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2根号3，M。N为AB的中点.

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2根号3，M。N为AB的中点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
（3）求点B到平面SCM的距离.

Answer 1

本题若想利用向量的方法解答，首先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC⊥SB，只须证明 • =0，由已知不难推得证明：

（Ⅰ）A（2，0，0），B（0，2 ，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2倍根号2），M(1， 根号3，0)，N(0，根号3 根号2， ).∴向量AC =（-4，0，0），向量SB =（0，2 ，2 ），则 向量AC• 向量SB=（-4，0，0）•（0，2 ，2 ）=0由此命题得证证明：

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 向量CM=（3，根号3 ，0）， 向量MN=（-1，0， 根号2）.设向量n =（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，有： 向量CM•向量n =3x+根号3 y=0， 向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0， 取z=1，则x= 根号2，y=-根号6 ，∴向量n =(根号2 ，-根号6 ，1)，又 向量OS=(0，0，2根号2 )为平面ABC的一个法向量，∴cos( 向量n，向量OS )= 三分之一 .∴二面角N-CM-B的大小为arccos 三分之一

(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得向量MB=（-1，√3， 0）.向量n =(√2 ，-√6 ，1)为平面CMN的一个法向量，

∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3