Question

如图，BC是半圆的直径，AD BC，垂足为点D，弧BA=弧AF，BF与AD交于点E． （1）求证：AE=BE；（2）若点A

如图，BC是半圆的直径，AD BC，垂足为点D，弧BA=弧AF，BF与AD交于点E． （1）求证：AE=BE；（2）若点A、F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．

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Answer 1

（1）证明见试题解析；（2） ．

试题分析：（1）连AC，BC为直径，则∠BAC=90°，AD⊥BC，得∠C=∠BAE．由 = ，可得∠C=∠ABF，所以∠ABE=∠BAE，从而证得AE=BE； （2）A，F把半圆三等分，则∠ACB=30°，由BC=12，得到AB=6，则AC= ，所以AD= ，由∠BAD=30°，得到∠ABE=∠DBE=30°，故BD=3，DE= ． （1）证明：连AC，如图，∵BC为直径，则∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAE+∠ABC=90°，∴∠C=∠BAE，由 = ，可得∠C=∠ABF，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE； （2）∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB=30°，在直角三角形ABC中，BC=12，则AB= BC=6，AC= AB= ．在直角三角形ADC中，AD= AC= ．∴AD= ，∵∠C=∠ABF，∠ABE=∠BAE，∴∠ABE=∠BAE=30°，∠BED=30°，∴BD=3，ED= ，∴AE=BE= ．