Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当c=0时，有f（-2）=6，|2a+b|≤3．若对于任意的实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[-2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．

Answer 1

（Ⅰ）由于已知得f（x）=x²+bx+b，图象过定点（0，b），且由|f（x）|在x∈[0，1]
上单调递增，可知f（x）图象与x轴在[0，1]上没有交点．
①当b≥0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）≥0在[0，1]上恒成立，
则只须对称轴?

b

2

≤0，得b≥0；
②当b＜0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）＜0在[0，1]上恒成立，
则只须对称轴?

b

2

≥1，得b≤-2；  
综上所述，b≤-2或b≥0．
（Ⅱ）由f（-2）=6，得b=2a-3，且f（x）=ax²+（2a-3）x，
又∵-3≤2a+b≤3，即-3≤4a-3≤3，得a∈[0，

3

2

]．
①当a=0时，b=-3，f（x）=-3x在定义域上单调递减，
∵|f（-2）|=|f（2）|，
∴t=2．
②当a∈(0，

3

2

]时，f（x）=ax²+（2a-3）x，抛物线开口向上，对称轴x＝

3?2a

2a

，
f(?2)＝f(

3

a

)＝6，最小值为f(

3?2a

2a

)＝?

(2a?3)2

4a

．
（ⅰ）当?

(2a?3)2

4a

≥?6时，即4a²-36a+9≤0，解得

9?6 2

2

≤a≤

3

2

，
要使|f（x）|≤6在x∈[-2，t]恒成立，此时t的最大值为f（x）=6的解x1＝?2，x2＝

3

a

中较大的根，
∴t＝

3

a

．
（ⅱ）当?

(2a?3)2

4a

＜?6时，即4a²-36a+9＞0，解得0＜a＜

9?6 2

2

，
此时令f（x）=-6，解得x＝

3?2a± 4a2?36a+9

2a

，
要使|f（x）|≤6在x∈[-2，t]恒成立，此时t为其中较小的根，知t＝

3?2a? 4a2?36a+9

2a

．
综上可得t＝

2，a＝0 3?2a? 4a2?36a+9 2a ，0＜a＜ 9?6 2 2 3 a ， 9?6 2 2 ≤a≤ 3 2

．