Question

已知双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=b2x(b∈N*)，P为双曲线

已知双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=b2x(b∈N*)，P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为x24?y2＝1x24?y2＝1．

Answer 1

∵|F₁F₂|²=|PF₁|?|PF₂|，
∴4c²=|PF₁|?|PF₂|，
∵|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|?|PF₂|=16，
即：|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16，①
设：∠POF₁=θ，则：∠POF₂=π-θ，
由余弦定理得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂|?|OP|?cos（π-θ），
|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|?cosθ
整理得：|PF₂|²+|PF₁|²=2c²+2|OP|²②
由①②化简得：|OP|²=8+3c²=20+3b²
∵OP＜5，∴20+3b²＜25，∵b∈N，∴b²=1．
∵一条渐近线方程为y=

b

2

x（b∈N^*），
∴

b

a

=

1

2

，∴a=2，
∴

x2

4

?y2＝1．
故答案为：

x2

4

?y2＝1．