Question

已知双曲线 y^2-x^2/3=1的焦点为F1，F2，两渐近线为L1，L2。若A,B分别为L1，L2上的动点，且AB长为F1F2长的

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已知双曲线 y^2-x^2/3=1的焦点为F1，F2，两渐近线为L1，L2。若A,B分别为L1，L2上的动点，且AB长为F1F2长的5/2，求AB中点M的轨迹方程。

Answer 1

双曲线的渐近线方程分别为y=±(√3/3)x，恰好夹角为60°，c=2，|F1F2|=2c=4，则|AB|=10。
设M(m，n)，连结OM并延长到N，使得M为ON的中点，则N(2m，2n)，且NA平行于OB。
所以直线NA的方程为y=(－√3/3)(x－2m)＋2n，与直线y=(√3/3)x联立方程组，得到A点坐标为A(m＋√3n，√3/3m＋n)。同理求出点B(m－√3n，－√3/3m＋n)。利用|AB|=10，代入、化简得：2m²＋18n²=15，即点M的轨迹方程为2x²＋18y²=15。