Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）证明{an+1}是等比

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）证明{an+1}是等比数列，并求an；（Ⅲ）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（I）∵S_n=2a_n-n，
当n=1时，由S₁=2a₁-1，可得a₁=1
当n=2时，由S₂=a₁+a₂=2a₂-2，可得a₂=3
当n=3时，由S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-3，可得a₃=7
证明：（II）∵S_n=2a_n-n
∴S_n-1=2a_n-1-（n-1）
两式相减可得，a_n=2a_n-1+1，a₁+1=2
∴an+1＝2(an?1+1)
所以{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴a_n=2ⁿ-1
解：（III）∵b_n=（2n+1）a_n+2n+1
∴b_n=（2n+1）2^{n
∴T_n=3?2+5?22+…+（2n+1）?2n
2T_n=3?22+5?23+…（2n-1）?2n+（2n+1）?2n+1}
两式相减可得，-T_n=3?2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=6+2×

4(1?2n?1)

1?2

?(2n+1)?2n+1=2ⁿ⁺¹（1-2n）-2
∴T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹