Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q。（1）求证：P是△ACQ的外心；（2）若 tan∠ABC= ，CF=8，求CQ的长；（3）求证：（FP+PQ） 2 =FP·FG。

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Answer 1

解：（1）∵C是 的中点， ∴ ， ∴∠CAD=∠ABC ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAD+∠AQC=90° 又CE⊥AB， ∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ中，PC=PQ， ∵CE⊥直径AB， ∴ ∴ ∴∠CAD=∠ACE， ∴在△APC中，有PA=PC， ∴PA=PC=PQ ∴P是△ACQ的外心； （2）∵CE⊥直径AB于F， ∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC= ，CF=8，得 ， ∴由勾股定理，得 ∵AB是⊙O的直径， ∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC= ， 得 ， 易知Rt△ACB∽Rt△QCA， ∴ ∴ ； （3）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90° 又CF⊥AB， ∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G； ∴Rt△AFP∽Rt△GFB， ∴ ，即 易知Rt△ACF∽Rt△CBF， ∴ （或由摄影定理得） ∴ 由（1），知PC=PQ， ∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴ 。