在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；（2）设数列{bn}满足bn=l
在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；（2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+...
在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；（2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+1b2)(1+1b3)(1+1b4)…(1+1bn)＞kn+1对一切n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．
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（1）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=log2（an+1-n）=n
设f（n）=(1+
)(1+
)(1+
)…（1+
）×
，（n≥2）
则f（n+1）=(1+
)(1+
)(1+
)…（1+
）×（1+
）×
，
两式相除可得
=（1+
）×
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=log2（an+1-n）=n
设f（n）=(1+
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| b4 |
| 1 |
| bn |
| 1 | ||
|
则f（n+1）=(1+
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| b4 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| bn+1 |
| 1 | ||
|
两式相除可得
| f(n+1) |
| f(n) |
| 1 |
| bn+1 |
| ||
|
