Question

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）=-80．

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）=-80．求实数a的所有可能值．

Answer 1

∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根，
∴△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0
所以a≥5或a≤1．…（3分）
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁?x₂=2a²-1，
∵（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，即3（x₁²+x₂²）-10x₁x₂=-80，
∴3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，
整理得，5a²+18a-99=0，
∴（5a+33）（a-3）=0，解得a=3或a=-

33

5

，
当a=3时，△=9-6×3+5=-4＜0，故舍去，
当a=-

33

5

时，△=（-

33

5

）²-6×（-

33

5

）+6=（

33

5

）²+6×

33

5

+6＞0，
∴实数a的值为-

33

5