Question

已知实数a＞0，函数f（x）=a（x-2）2+2lnx，g（x）=f（x）-4a+14a．（1）当a=1时，讨论函数f（x）的单调

已知实数a＞0，函数f（x）=a（x-2）2+2lnx，g（x）=f（x）-4a+14a．（1）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若当x∈[2，+∞）时，函数g（x）图象上的点均在不等式y≥x，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x²-4x+4+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x-4+

2

x

=

2(x?1)2

x

；
∵x＞0，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）∵f（x）=ax²-4ax+4a+2lnx，
∴f′（x）=2ax-4a+

2

x

=

2ax2?4ax+2

x

；
又∵f（x）在[1，4]上是增函数，
∴在[1，4]上f′（x）≥0恒成立，即2ax²-4ax+2≥0在[1，4]上恒成立①；
令g（x）=2ax²-4ax+2，则g（x）=2a（x-1）²-2a+2，
当a＞0时，要使①成立，只需g（1）≥0，即-2a+2≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1；
当a＜0时，要使①成立，只需g（4）≥0，即16a+2≥0，解得a≥-

1

8

，∴-

1

8

≤a＜0；
综上，-

1

8

≤a＜0或0＜a≤1．
（3）由题意，使a（x-2）²+2lnx-4a+

1

4a

≥x在[2，+∞）上恒成立，
令h（x）=a（x-2）²+2lnx-4a+

1

4a

-x，则h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立②；
∴h′（x）=2ax-4a+

2

x

-1，即h′（x）=

(x?2)(2ax?1)

x

；
（i）当a＜0时，∵x＞2，∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[2，+∞）上是减函数，且h（4）=2ln4-4+

1

4a

＜0，
∴②不成立；
（ii）当0＜a＜

1

4

时，2＜

1

2a

，此时h（x）在[2，

1

2a

]上是减函数，在[

1

2a

，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（

1

2a

）=-2-ln2a，
∴只需-2-2ln2a≥0，解得a≤

1

2e

；∴0＜a≤

1

2e

时②成立；
（iii）当a≥

1

4

时，2≥

1

2a

，此时h（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（2）=2ln2-4a+

1

4a

-2，
∵-4a+

1

4a

≤0，2ln2-2＜0，∴h（x）_min=h（2）＜0，∴②不成立；
综上，0＜a≤

1

2e

．