Question

已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1=2，k2=5，k3=11，（1）求

已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1=2，k2=5，k3=11，（1）求等比数列{akn}的公比q（2）试求数列{kn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）由题意可得，

a

2 5

＝a2?a11
即(a1+4d)2＝(a1+d)(a1+10d)
解得a₁=2d或 d=0（舍去）（4分）
∴公比q＝

a5

a2

＝

6d

3d

＝2（6分）
（2）由等差数列的通项可得，akn＝a1+(kn?1)d＝(kn+1)d…①
又∵akn＝a2?2n?1＝3d?2n?1…②
由①②得kn＝3?2n?1?1，n∈N^*（10分）
∴Sn＝(3?1?1)+(3?21?1)+…+(3?2n?1?1)＝3(1+2+…+2n?1)?n
=3（2ⁿ-1）-n=3?2ⁿ-n-3（14分）