Question

求椭圆x2/9+y2/4=1上的点到直线x+2y-4=0的距离最大值为

第一步设了x=3cosΘ ，y=2sinΘ 为什么可以这样呢？

Answer 1

学过椭圆参数方程，则非常明白如此设.
事实上，x=3cosθ，y=2sinθ时，
x²/9+y²/4=(3cosθ)²/9+(2sinθ)²/4
=cos²θ+sin²θ
=1，
即点(3cosθ,2sinθ)在椭圆上.
故依点线距公式得
d=|3cosθ+4sinθ-4|/5
=|5sin(θ+φ)-4|/5
(其中，tanφ=3/4)
∴sin(θ+φ)=-1时，
所求最大值为值为: 9/5。

除了以上的三角代换法，还可用柯西不等式法解决:
1=x²/9+y²/4
=x²/9+(2y)²/16
≥(x+2y)²/25
→-5≤x+2y≤5
→-9/5≤(x+2y-4)/5≤1/5
→1/5≤|x+2y-4|/5≤9/5.
故所求最大值为: 9/5;
且所求最小值为: 1/5。