Question

复变函数sinz/z的洛朗级数怎么求

Answer 1

洛朗级数展开式唯一,所以不管你用什么方法求得的展式都一样.sinz是整函数,所以sinz的洛朗展开式也就是泰勒展开式。
sinz=[e^iz-e^(-iz)]/(2i)
记t=e^iz,则方程化为：
(t-1/t)/(2i)=i
即t-1/t=-2
t^2+2t-1=0
t=-1±√2
即e^iz=-1±√2=√3e^ia,这里tana=±√2
故 iz=ln√3+i(a+2kπ),k为任意整数
得：z=a+2kπ-0.5iln3

Answer 2

sinz的洛朗展式与其泰勒展式相同
为∑（（-1）^nz^2n+1）/（2n+1）!
则
sinz/z的洛朗级数为
∑（（-1）^nz^2n）/（2n+1）!