Question

求 高一 关于复合函数的单调性的习题

也要有答案的…

Answer 1

1.f(x)的定义域为（o,+∞)且在（0，+∞）上为增函数，f(xy)=f(x)+f(y). 求证f(x/y)=f(x)-f(y)
解：
令x=y,y=x/y;
代入（1）；
则 ：f(y*x/y)=f(y)+f(x/y)
即： f(x)=f(y)+f(x/y)
所以 ：f(x/y)=f(x)-f(y);

2.函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,且在此区间上f(x)为增函数f(x)>0,g(x)为减函数,g(x)<0.试判断f(x)*g(x)在[a,b]的单调性,并证明
解：
取任意x1,x2属于[a，b],且x1>x2
则有f(x1)>f(x2)>0 ，g(x1)<g(x2)<0
|g(x2)|>|g(x1)|>0
故|f(x1)*g(x1)| > |f(x2)*g(x2)| ---(1)
而 f(x1)*g(x1)<0 ，f(x2)*g(x2)<0
绝对值越大的负数， 其值越小
f(x1)*g(x1)<f(x2)*g(x2)-----(2)
所以 ：为减函数

3.数y=x^4-2x^2+3的单调区间
解：
设t=x^2 则y=（t-1）^2+2
由x≥1 得x≥-1或x≤1 由x≤-1 得-1≤x≤1
∵
t=x^2 在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,0]上是减函数,在[0.1]上是增函数,在[1,+∞)上是增函数.
y=（t-1）^2+2 在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数
∴y=x^4-2x^2+3 在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,0]上是增函数,在[0.1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.

4.设函数y=f(x)定义在R上，当x>0时y=f(x)>1，且对于任意实数a,b属于R，有f(a+b)=f(a)·f(b)，判断 f(x)在R上的单调性。
解：设x1<x2
则f(x2)=f(x2-x1)·f(x1)
f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)

∵x2-x1>0
∴f(x2-x1)>1
∴f(x2)/f(x1)>1
若a,b>0
∵f(a)/f(b)=f(a-b)>0
a-b可以取任意实数，∴f(x)>0

∴f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
即f(x)为增函数。
5.已知函数f(x)在[0,+∞)上是减函数，且f(x)≠0，f(2)=1,判断F(x)=f(x)+
1/f(x)在[0,2]上的增减性。
解：f(x)-f(x-1)<0
用F(x)-F(x-1)判断符号，化简到最后得到[f(x-1)-f(x)]*[1-f(x-1)*f(x)]/f(x)f(x-1)
因为f(x-1)-f(x)>0
由于f(2)=1，f(x)又是递减函数，所以f(x)在0到2应该大于1，所以1-f(x-1)*f(x）<0所以F(x)-F(x-1)应该是<0，因此F(x)在0到2上应该为递减函数

Answer 2

http://wenku.baidu.com/view/872aa905cc175527072208d0.html