Question

若x，y都是正实数，且x+y=1，求xy+[1/xy]的最小值

越快越好 写了

Answer 1

∵x+y ≥2√xy 即xy≤1/4,所以 0<xy≤1/4 当且仅当 x=y=1/2时等号成立。

又xy+[1/xy]≥2，当且仅当xy=1/(xy)，即xy=1时成立。因此，另寻它法(函数单

调性)

不妨令：t=xy,t∈(0,1/4]，

则f(x)=t+1/t,该函数在（0，1/4]上单减

∴f(t)min=f(1/4)=1/4+4=17/4

∴[xy+1/（xy）]（min）=17/4

Answer 2

x+y=1=>0<xy<=1/4
在(0,1/4]区间下,函数y=x+1/x单调减，
所以最小值为x=y=1/2时取得17/4

Answer 3

0＜xy≤[(x+y)/2]^2=1/4;当且仅当x=y=1/2时取等
记函数f(t)=t+1/t,t∈(0,1/4]
则f'(x)=1-1/t^2＜0,函数y=f(t)递减
故f(t)min=f(1/4)=1/4+4=17/4
故xy+1/xy的最小值为17/4