Question

线代问题：如果向量组1不能由向量组2线性表出，那能不能推出向量组1的秩＞向量组2的秩？

线代问题：如果向量组1不能由向量组2线性表出，那能不能推出向量组1的秩＞向量组2的秩？原定理是如果向量组1能由向量组2线性表出，那么向量组1的秩≤向量组2的秩。它的否命题是否成立呢？

Answer 1

假设向量组1的极大无关组为α1、α2、...αm，向量组2的极大无关组为β1、β2、...βn，又因为向量组1可由向量组2线性表出，则α1、α2、...、αm，可由β1、β2、...、βn线性表出，设m＞n。

根据向量组A（s个向量）可由向量组B（t个向量）线性表出，且s＞t，则向量组A线性相关。则α1、α2、...、αm线性相关，与题设矛盾，故可得m＜＝n，即向量组1的秩小于等于向量组2的秩。

其中，线性表出：设α₁，α₂，…，αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量，若V中向量α可以表示为α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₐ∈P，a=1，2，…，e)，则称α是向量组α₁，α₂，…，αₑ的一个线性组合，亦称α可由向量组α₁，α₂，…，αₑ线性表示或线性表出。

扩展资料

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

Answer 2

只有当一组能被二组线性表出，

但二组不能将一组线性表出时，才可推出

来永乐老师的提醒小课

Answer 3

A：反设r＞s．因为向量组I=α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性表出，所以向量组α1，α2，…，αr的秩＜s＜r，所以向量组I=α1，α2，…，αr线性相关，矛盾！故r≤s，故A成立．B：如果向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性相关，取αi=βi，i=1，…，s，则向量组I线性相关，且r=s，故B不正确．C：因为向量组II详细相关，故存在βk为非零向量，取αi=iβk，i=1，…，s+1，则向量组I线性相关，但r=s+1＞s，故C不正确．D：取α1=(12，?12)，β1=（1，-1）T，β2=（-1，1）T，则α1=12β1+0β2，故向量组I可由向量组II线性表出，但r＜s，故D不正确．故选：A．