Question

为什么矩阵A的特征值是1，1，0，那么A+E的特

Answer 1

若λ是A的特征值，对应的特征向量是x，则Ax=λx，所以(A+E)x=Ax+Ex=λx+x=(λ+1)x，所以λ+1是A+E的特征值。所以若A的特征值是1，1，0，则A+E的特征值就是1+1，1+1，0+1，也就是2，2，1。

Answer 2

hxzhun66 回答的很好 我补充下：
因为有定理（还是性质，记不太清楚了..)：
AX=λX（X不等于0向量），那么有 f（A）=f（λ）X;
这个定理告诉我们 矩阵的“函数关系”和特征值的“函数关系”是同步的。
所以原来矩阵加了E，特征值就加1。推广：原来矩阵加了nE，特征值加n。
还有其他情况是，原来的矩阵是原来的平方，那么特征值也变成的原来的平方。

Answer 3

注意a的特征值是det(xe-a)=0的根，把a+ne代进去就得到det(xe-(a+ne))=det((x-n)e-a)=0，x是a+ne的特征值等价于x-n是a的特征值，所以a+ne的特征值就是a的特征值加上n。