Question

圆柱体转轴通过几何中心并与几何轴垂直的转动惯量求法

老师说这个圆柱体转轴通过中心并与几何轴垂直的转动惯量有两种求法，一种就是用普通的r^2dm积分，另一种是用平行轴定理，这两种方法都不能理解是怎么算出来的，拜托各位大佬详解🙏🙏

Answer 1

首先用垂直轴定理得到圆形薄片对直径的转动惯量J=m*R^2/4

把圆柱体分割成一系列圆形薄片，薄片厚度为dx，对距离转轴为x的那个薄片（质量元）：

dm=ρ*π*R^2*dx，它对轴的转动惯量微元dJ=R^2*dm/4+x^2*dm——这就是平行轴定理：刚体的对某一转轴的转动惯量=对质心轴（二轴平行）的转动惯量+刚体质量×2轴距离的平方

ρ=m/π*R^2*L